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固有関数データベース (β版)

2026-04-15 · 709 領域

Beta本データベースは β 版です。数値、領域の定義、参考文献、UI は今後変更する可能性があります。実際に利用される場合は対応する領域の JSON ファイルに対して照合し、差異があればご連絡ください。

基本 — 個別領域

単位正方形#square

[0,1] × [0,1]。変数分離可能で、固有値は π²(m²+n²)（m, n ≥ 1）で尽くされる。

参考文献 Courant–Hilbert (1953), §V.5

メッシュ: 513 頂点、 944 三角形、 P2 Lagrange

Dirichlet 境界条件

単位正方形, dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = 19.739246

Neumann 境界条件

単位正方形, neumann, 選択モード — k = 1 λ = 0

Robin 境界条件

α = 1 2 / 4

単位正方形, robin, 選択モード — k = 1 λ = 3.414106

Steklov 境界条件

単位正方形, steklov, 選択モード — k = 1 λ = 0

単位円板#disk

半径 1 の円板。固有値は第 1 種の Bessel 関数 J_m の零点の二乗で与えられる。

参考文献 Courant–Hilbert (1953), §V.5; Girouard–Polterovich, J. Spectral Theory 7 (2017).

メッシュ: 1,594 頂点、 3,058 三角形、 P2 Lagrange

Dirichlet 境界条件

単位円板, dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = 5.785540

Neumann 境界条件

単位円板, neumann, 選択モード — k = 1 λ = 0

Robin 境界条件

α = 1 2 / 4

単位円板, robin, 選択モード — k = 1 λ = 1.577503

Steklov 境界条件

単位円板, steklov, 選択モード — k = 1 λ = 0

多角形 — 個別領域

正三角形#equilateral-triangle

一辺 1。Lamé (1833) が閉形式解 λ_{m,n} = (16π²/9)(m² + n² + mn) を導いた。

参考文献 Lamé (1833); McCartin, SIAM Rev. 45 (2003).

メッシュ: 231 頂点、 400 三角形、 P2 Lagrange

Dirichlet 境界条件

正三角形, dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = 52.638598

Neumann 境界条件

正三角形, neumann, 選択モード — k = 1 λ = 0

Robin 境界条件

α = 1 2 / 4

正三角形, robin, 選択モード — k = 1 λ = 6.073964

Steklov 境界条件

正三角形, steklov, 選択モード — k = 1 λ = 0

直角二等辺三角形#right-isoceles-triangle

脚の長さ 1。単位正方形の半分として得られ、固有値は π²(m²+n²)（m > n ≥ 1）。

メッシュ: 279 頂点、 487 三角形、 P2 Lagrange

Dirichlet 境界条件

直角二等辺三角形, dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = 49.348577

Neumann 境界条件

直角二等辺三角形, neumann, 選択モード — k = 1 λ = 0

Robin 境界条件

α = 1 2 / 4

直角二等辺三角形, robin, 選択モード — k = 1 λ = 5.814958

Steklov 境界条件

直角二等辺三角形, steklov, 選択モード — k = 1 λ = 0

30°-60°-90° 三角形#30-60-90-triangle

短い脚 1、長い脚 √3。平面を敷き詰める(Lamé 型)三角形で、ビリヤードは可積分。

参考文献 Integrable triangle (30-60-90 is one of the three Lamé triangles).

メッシュ: 456 頂点、 815 三角形、 P2 Lagrange

Dirichlet 境界条件

30°-60°-90° 三角形, dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = 30.705572

Neumann 境界条件

30°-60°-90° 三角形, neumann, 選択モード — k = 1 λ = 0

Robin 境界条件

α = 1 2 / 4

30°-60°-90° 三角形, robin, 選択モード — k = 1 λ = 4.365073

Steklov 境界条件

30°-60°-90° 三角形, steklov, 選択モード — k = 1 λ = 0

等脚台形#trapezoid-iso

平行な底辺 2 と 1、高さ 1 の等脚台形。

メッシュ: 775 頂点、 1,442 三角形、 P2 Lagrange

Dirichlet 境界条件

等脚台形, dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = 14.751591

Neumann 境界条件

等脚台形, neumann, 選択モード — k = 1 λ = 0

Robin 境界条件

α = 1 2 / 4

等脚台形, robin, 選択モード — k = 1 λ = 2.838014

Steklov 境界条件

等脚台形, steklov, 選択モード — k = 1 λ = 0

非凸 — 個別領域

L字型領域#l-shape

[-1,1]² から右下の象限を除いた領域。凹角 (re-entrant corner) において固有関数は r^{2/3} 型の特異性をもつ（Fox–Henrici–Moler 1967）。

参考文献 Fox–Henrici–Moler, SIAM J. Numer. Anal. 4 (1967).

メッシュ: 1,486 頂点、 2,810 三角形、 P2 Lagrange

Dirichlet 境界条件

L字型領域, dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = 9.645378

Neumann 境界条件

L字型領域, neumann, 選択モード — k = 1 λ = 0

Robin 境界条件

α = 1 2 / 4

L字型領域, robin, 選択モード — k = 1 λ = 2.100698

Steklov 境界条件

L字型領域, steklov, 選択モード — k = 1 λ = 0

非同心円環#annulus-offcenter

単位円板から、中心 (0.4, 0)、半径 0.25 の内側円板を除いた領域。同心円環の対称性を破った変種。

メッシュ: 4,062 頂点、 7,868 三角形、 P2 Lagrange

Dirichlet 境界条件

非同心円環, dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = 9.938295

Neumann 境界条件

非同心円環, neumann, 選択モード — k = 1 λ = 0

Robin 境界条件

α = 1 2 / 4

非同心円環, robin, 選択モード — k = 1 λ = 2.133803

Steklov 境界条件

非同心円環, steklov, 選択モード — k = 1 λ = 0

曲線境界 — 個別領域

Reuleaux 三角形#reuleaux-triangle

一辺 1 の正三角形の各頂点を中心とする単位円板 3 つの共通部分。定幅図形 (Reuleaux 1875)。

メッシュ: 4,801 頂点、 9,363 三角形、 P2 Lagrange

Dirichlet 境界条件

Reuleaux 三角形, dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = 27.275313

Neumann 境界条件

Reuleaux 三角形, neumann, 選択モード — k = 1 λ = 0

Robin 境界条件

α = 1 2 / 4

Reuleaux 三角形, robin, 選択モード — k = 1 λ = 3.948207

Steklov 境界条件

Reuleaux 三角形, steklov, 選択モード — k = 1 λ = 0

カオス的ビリヤード — 個別領域

Cardioid#cardioid

r = 1 − cos θ。古典ビリヤードは ergodic, mixing, かつ K 系 (Markarian 1993)；quantum chaos の文脈で詳しく調べられている (Robnik 1983; Bäcker–Steiner 1998)。

参考文献 Robnik, J. Phys. A 16 (1983); Bäcker–Steiner (1998).

メッシュ: 7,387 頂点、 14,532 三角形、 P2 Lagrange

Dirichlet 境界条件

Cardioid, dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = 4.043005

Neumann 境界条件

Cardioid, neumann, 選択モード — k = 1 λ = 0

Robin 境界条件

α = 1 2 / 4

Cardioid, robin, 選択モード — k = 1 λ = 1.273208

Steklov 境界条件

Cardioid, steklov, 選択モード — k = 1 λ = 0

多角形 — パラメトリック族

正 n 角形#regpoly

単位円に内接する正 n 角形。n → ∞ で固有値は単位円板の固有値に収束する。

n = 3 1 / 298

Dirichlet 境界条件

正 n 角形, dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

正 n 角形, neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

正 n 角形, robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

正 n 角形, steklov, 選択モード — k = 1 λ = —

二等辺三角形 (頂角 θ)#isotri

底辺 1、頂角 θ の二等辺三角形。θ = 60° で正三角形に一致。

θ (度) = 10 1 / 55

Dirichlet 境界条件

二等辺三角形 (頂角 θ), dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

二等辺三角形 (頂角 θ), neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

二等辺三角形 (頂角 θ), robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

二等辺三角形 (頂角 θ), steklov, 選択モード — k = 1 λ = —

菱形 (鋭角 θ)#rhombus

一辺 1、鋭角 θ の菱形。θ = 90° で単位正方形に一致。

θ (度) = 5 1 / 43

Dirichlet 境界条件

菱形 (鋭角 θ), dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

菱形 (鋭角 θ), neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

菱形 (鋭角 θ), robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

菱形 (鋭角 θ), steklov, 選択モード — k = 1 λ = —

非凸 — パラメトリック族

円環 (内径 r)#annulus

同心円環 { r < |x| < 1 }。固有値は Bessel 関数 J_m, Y_m のクロス積の零点で与えられる。

r = 0.05 1 / 19

Dirichlet 境界条件

円環 (内径 r), dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

円環 (内径 r), neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

円環 (内径 r), robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

円環 (内径 r), steklov, 選択モード — k = 1 λ = —

Pac-Man (開口 θ 除去)#pacman

単位円板から開き角 θ の扇形を除いた領域。原点での凹角は 2π − θ で、r^{π/(2π−θ)} 型特異性が生じる。

θ (rad) = 0.1309 1 / 22

Dirichlet 境界条件

Pac-Man (開口 θ 除去), dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

Pac-Man (開口 θ 除去), neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

Pac-Man (開口 θ 除去), robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

Pac-Man (開口 θ 除去), steklov, 選択モード — k = 1 λ = —

曲線境界 — パラメトリック族

長方形 (辺比 r)#rect

長方形 [0, r] × [0, 1]。変数分離可能で λ_{m,n} = π²((m/r)² + n²)。

r = 1 1 / 28

Dirichlet 境界条件

長方形 (辺比 r), dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

長方形 (辺比 r), neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

長方形 (辺比 r), robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

長方形 (辺比 r), steklov, 選択モード — k = 1 λ = —

楕円 (軸比 e)#ellipse

半軸 (1, 1/e) の楕円。固有関数は角度および動径 Mathieu 関数の積。

e = 1.1 1 / 32

Dirichlet 境界条件

楕円 (軸比 e), dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

楕円 (軸比 e), neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

楕円 (軸比 e), robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

楕円 (軸比 e), steklov, 選択モード — k = 1 λ = —

扇形 — パラメトリック族

扇形 (開き角 α)#sector

半径 1、開き角 α の扇形。固有関数は J_{kπ/α}(√λ r) sin(kπθ/α)。

α (rad) = 0.1309 1 / 47

Dirichlet 境界条件

扇形 (開き角 α), dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

扇形 (開き角 α), neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

扇形 (開き角 α), robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

扇形 (開き角 α), steklov, 選択モード — k = 1 λ = —

カオス的ビリヤード — パラメトリック族

Robnik ビリヤード (ε)#robnik

共形写像 z = w + εw² による単位円板の像。ε = 0 の可積分な円板から ε = 1/2 で Cardioid に至る 1 パラメータ族。

参考文献 Robnik, J. Phys. A 16 (1983).

ε = 0 1 / 25

Dirichlet 境界条件

Robnik ビリヤード (ε), dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

Robnik ビリヤード (ε), neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

Robnik ビリヤード (ε), robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

Robnik ビリヤード (ε), steklov, 選択モード — k = 1 λ = —

Sinai ビリヤード (内半径 r)#sinai-family

[-1,1]² から中心の半径 r の円板を除いた領域。0 < r < 1 で古典ビリヤードは K 系 (Sinai 1970)。

参考文献 Sinai, Russ. Math. Surveys 25 (1970).

r = 0.05 1 / 18

Dirichlet 境界条件

Sinai ビリヤード (内半径 r), dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

Sinai ビリヤード (内半径 r), neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

Sinai ビリヤード (内半径 r), robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

Sinai ビリヤード (内半径 r), steklov, 選択モード — k = 1 λ = —

スタジアム (半長 a)#stadium-family

長方形 [-a, a] × [-1, 1] の両端に半径 1 の半円を付加した領域。a > 0 で古典ビリヤードは ergodic かつ K-mixing (Bunimovich 1974)；a = 0 は単位円板。

参考文献 Bunimovich, Commun. Math. Phys. 65 (1979).

a = 0.1 1 / 25

Dirichlet 境界条件

スタジアム (半長 a), dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

スタジアム (半長 a), neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

スタジアム (半長 a), robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

スタジアム (半長 a), steklov, 選択モード — k = 1 λ = —

細領域 — パラメトリック族

二等辺三角形 (高さ h)#thintri

底辺 1、高さ h の二等辺三角形。h → 0 の細領域極限では λ ~ (定数)/h² (Friedlander–Solomyak 2009)。

参考文献 Friedlander–Solomyak, ESAIM COCV (2009).

h = 0.02 1 / 20

Dirichlet 境界条件

二等辺三角形 (高さ h), dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

二等辺三角形 (高さ h), neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

二等辺三角形 (高さ h), robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

二等辺三角形 (高さ h), steklov, 選択モード — k = 1 λ = —

ダンベル (頸部幅 n)#dumbbell

中心 (±1.3, 0) の単位円板 2 つを、半幅 n の長方形頸部で連結した領域。n → 0 で第 1, 第 2 Dirichlet 固有値が漸近的に縮退する (Jimbo 1989; Arrieta 1995)。

参考文献 Jimbo, J. Diff. Eq. 77 (1989); Arrieta, J. Diff. Eq. 118 (1995).

n = 0.02 1 / 25

Dirichlet 境界条件

ダンベル (頸部幅 n), dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

ダンベル (頸部幅 n), neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

ダンベル (頸部幅 n), robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

ダンベル (頸部幅 n), steklov, 選択モード — k = 1 λ = —

3 次元領域 — パラメトリック族

球体 B³ (半径 R)#ball

半径 R の開球の Dirichlet Laplacian。固有値は球ベッセル j_l の零点の二乗。回転 GIF（半透明の半球 + 切断面に色付け）で表示。

R = 0.5 1 / 10

Dirichlet 境界条件

球体 B³ (半径 R), dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

球体 B³ (半径 R), neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

球体 B³ (半径 R), robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

球体 B³ (半径 R), steklov, 選択モード — k = 1 λ = —

直方体 [0,a]×[0,1]×[0,1]#box

軸平行の直方体（Dirichlet）。変数分離可能。回転 GIF で 3 つの中央切断面に固有関数を色付けして表示。

a = 1 1 / 10

Dirichlet 境界条件

直方体 [0,a]×[0,1]×[0,1], dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

直方体 [0,a]×[0,1]×[0,1], neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

直方体 [0,a]×[0,1]×[0,1], robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

直方体 [0,a]×[0,1]×[0,1], steklov, 選択モード — k = 1 λ = —

閉 2-多様体 — パラメトリック族

球面 S² (半径 R)#sphere

半径 R の 2-球面の Laplace–Beltrami 作用素。スペクトル λ_l = l(l+1)/R² は重複度 2l+1。

R = 0.5 1 / 12

Dirichlet 境界条件

球面 S² (半径 R), dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

球面 S² (半径 R), neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

球面 S² (半径 R), robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

球面 S² (半径 R), steklov, 選択モード — k = 1 λ = —

平坦トーラス T² (軸比 e=a/b)#torus

平坦トーラス ℝ²/(Z × bZ)。スペクトル 4π²(m² + (n/b)²)、固有関数は三角関数の積。

e = 1 1 / 10

Dirichlet 境界条件

平坦トーラス T² (軸比 e=a/b), dirichlet, 選択モード — k = 1 λ = —

Neumann 境界条件

平坦トーラス T² (軸比 e=a/b), neumann, 選択モード — k = 1 λ = —

Robin 境界条件

α = 1 1 / 1

平坦トーラス T² (軸比 e=a/b), robin, 選択モード — k = 1 λ = —

Steklov 境界条件

平坦トーラス T² (軸比 e=a/b), steklov, 選択モード — k = 1 λ = —